Leetcode 808. 分汤

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题目描述

有 A 和 B 两种类型 的汤。一开始每种类型的汤有 n 毫升。有四种分配操作：

  1. 提供 100ml 的 汤A 和 0ml 的 汤B 。
  2. 提供 75ml 的 汤A 和 25ml 的 汤B 。
  3. 提供 50ml 的 汤A 和 50ml 的 汤B 。
  4. 提供 25ml 的 汤A 和 75ml 的 汤B 。

当我们把汤分配给某人之后，汤就没有了。每个回合，我们将从四种概率同为 0.25 的操作中进行分配选择。如果汤的剩余量不足以完成某次操作，我们将尽可能分配。当两种类型的汤都分配完时，停止操作。

注意 不存在先分配 100 ml 汤B 的操作。

需要返回的值： 汤A 先分配完的概率 +  汤A和汤B 同时分配完的概率 / 2。返回值在正确答案 10-5 的范围内将被认为是正确的。

 

示例 1: 

输入: n = 50
输出: 0.62500
解释:如果我们选择前两个操作，A 首先将变为空。
对于第三个操作，A 和 B 会同时变为空。
对于第四个操作，B 首先将变为空。
所以 A 变为空的总概率加上 A 和 B 同时变为空的概率的一半是 0.25 *(1 + 1 + 0.5 + 0)= 0.625。

示例 2: 

输入: n = 100
输出: 0.71875

 

提示:

  • 0 <= n <= 109​​​​​​​

解答

注意到题目有精度要求，并且可以发现在n较大的时候，结果会收敛到\(1.0\)。

在测试后得知在\(n>=4276\)时，结果收敛。 

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class Solution {
public:
    double soupServings(int n) {
        if (n>=4276)
            return 1.0;
        n=ceil(double(n)/25);
        vector<vector<int>> step{{4,0},{3,1},{2,2},{1,3}};
        vector<vector<double>> dp(n+1,vector<double>(n+1,0.0));
        for (auto &i:dp[0]){
            i=1.0;
        }
        dp[0][0]=0.5;
        for (int i=1;i<=n;i++){
            for (int j=1;j<=n;j++){
                for (auto s:step){
                    dp[i][j]+=(1.0/4.0)*(dp[max(0,i-s[0])][max(0,j-s[1])]);
                }
            }
        }
        return dp[n][n];
    }
};

Complexity

  • Time: \(O(C^2)\)
  • Space: \(O(C^2)\)

\(C\) is a constant number that makes answer satisfy the precision \(10^{-5}\).

题外话

看到这种有给浮点数精度的题目，就可以考虑是否在\(n\)较大的时候，答案会收敛，从而实现优化。